જો કોઈક વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ અને $\beta$  માટે આપલે સમતલો  $x+4 y-2 z=1$ ; $x+7 y-5 z=\beta$ ; $x+5 y+\alpha z=5$ નો છેદગણ અવકાશમાં રેખા દર્શાવે છે  તો $\alpha+\beta$  મેળવો.

જો $D = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 + x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ જયાં $x \ne 0,y \ne 0$ તો $D$ એ . . . . .

સમીકરણ સંહતિ $2x + y – z = 7,\,\,x – 3y + 2z = 1,\,x + 4y – 3z = 5$ ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

જો ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca \leq 0\,\forall a,\,b,\,c\, \in \,R$ , હોય તો  $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{{(a + b + c)}^2}}&{{a^2} + {b^2}}&1 \\ 
  1&{{{(b + c + 2)}^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\ 
  {{c^2} + {a^2}}&1&{{{(c + a + 2)}^2}} 
\end{array}} \right|$ ની કિમત મેળવો.

$\alpha, \beta \in R$ માટે, ધારો કે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ  $x-y+z=5$ ; $2 x+2 y+\alpha z=8$ ; $3 x-y+4 z=\beta$ ને અસંખ્ય ઉકેલો છે. તો $\alpha$ અને $\beta$ એ $……..$ ના બીજ છે.