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माना धनात्मक संख्याएँ $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \mathrm{a}_4$ तथा $\mathrm{a}_5$ एक $G.P.$ में है। माना इसके माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{31}{10}$ तथा $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ है, जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ असभाज्य हैं। यदि इन संख्याओं के व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ है तथा $a_3+a_4+a_5=14$ है, तो $m+n$ बराबर है_____________।
$210$
$212$
$213$
$211$
Solution
Let $\frac{a}{r}, \frac{a}{r}, a, a r, a r^2$
$\text { Given } \frac{a}{r^2}+\frac{a}{r}+a+a r+a r^2=5 \times \frac{31}{10}$
$\text { And } \frac{r^2}{a}+\frac{r}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a r}+\frac{1}{a r^2}=5 \times \frac{31}{40}$
$(1) \div(2) a^2=4 \Rightarrow a=2 \quad \therefore r+\frac{1}{r}=5 / 2 \quad(a \neq-2)$
$\Rightarrow r=2$
$\therefore \text { Now } \frac{1}{2}, 1,2.4,8$
$\therefore \sigma^2=\frac{\sum x^2}{N}-\left(\frac{\sum x }{ N }\right)^2$
$=\frac{186}{25}=\frac{ M }{N} \Rightarrow 211= m + n$
