माना $\left\{a_{\mathrm{k}}\right\}$ तथा $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{k}}\right\}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$, दो G.P. है, जिनके सार्व अनुपात क्रमशः $r_1$ तथा $r_2$ है और $a_1=b_1=4$, $\mathrm{r}_1<\mathrm{r}_2$ है। माना $\mathrm{c}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}_{\mathrm{k}}+\mathrm{b}_{\mathrm{k}}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$ है। यदि $\mathrm{c}_2=5$ तथा $\mathrm{c}_3=\frac{13}{4}$ है तो $\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\left(12 \mathrm{a}_6+8 \mathrm{~b}_4\right)$ बराबर है________. 

निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$5+55+555+\ldots$

यदि $b$, एक ऐसी अपरिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी जिसका योग $5$ है, का प्रथम पद है, तो $b$ जिस अंतराल में स्थित है, वह है

गुणोत्तर श्रेणी $3,3^{2}, 3^{3}, \ldots$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $120$ हो जाए |

दो राशियों $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य स्थापित किये जाएँ, तो $n$ वाँ गुणोत्तर माध्य होगा