- Home
- Standard 11
- Mathematics
4-1.Complex numbers
hard
જે સમીકરણ $z+\alpha|z-1|+2 i=0(z \in C$ અને $i=\sqrt{-1})$ ને ઉકેલ હોય તેવી $\alpha$ ની નાનામાં નાની અને મોટામાં મોટી વાસ્તવિક કિંમતો અનુક્રમે $p$ અને $q$ હોય, તો $4\left(p^{2}+q^{2}\right)=..........$
A
$15$
B
$10$
C
$20$
D
$5$
(JEE MAIN-2021)
Solution
Put $z=x+$ iy
$x+i y+\alpha \mid x+$ iy $-1 \mid+2 i=0$
$\Rightarrow \quad x+\alpha \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+i(y+2)=0+0 i$
$\Rightarrow \quad y+2=0$ and $x+\alpha \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=0$
$\Rightarrow \quad y=-2$ and $\alpha^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}-2 x+5}$
Now $\frac{x^{2}}{x^{2}-2 x+5} \in\left[0, \frac{5}{4}\right]$
$\therefore \quad \alpha^{2} \in\left[0, \frac{5}{4}\right] \Rightarrow \alpha \in\left[-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$
$\Rightarrow \quad 4\left(p^{2}+q^{2}\right)=4\left(\frac{5}{4}+\frac{5}{4}\right)=10$
Standard 11
Mathematics