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माना कि $a, \lambda, \mu \in R$ है। इन रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए
$a x+2 y=\lambda$
$3 x-2 y=\mu$
निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?
$(A)$ यदि $a=-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय के अनन्त (infinitely many) हल हैं
$(B)$ यदि $a \neq-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय का अद्वितीय (unique) हल है
$(C)$ यदि $\lambda+\mu=0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय के अनन्त हल हैं
$(D)$ यदि $\lambda+\mu \neq 0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है
$A,C$
$B,C$
$B,C,D$
$B,C,A$
Solution
$\alpha x+2 y=\lambda$
$3 x-2 y=\mu$
$\Delta=\left|\begin{array}{ll}\alpha & 2 \\ 3 & -2\end{array}\right|=-2 \alpha-6$
$\Delta=0, \therefore, \alpha=-3$
$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}\lambda & 2 \\ \mu & -2\end{array}\right|=-2 \lambda-2 \mu=-2(\lambda+\mu)$
$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll}-3 & \lambda \\ 3 & \mu\end{array}\right|=-3 \mu-3 \lambda=-3(\lambda-\mu)$
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माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल (roots) हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार कीजिये । एक $3 \times 3$ आव्यूह (matrix) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ के लिए, $R_i=a_{i 1}+a_{i 2}+a_{i 3}$ और $C_j=a_{1 j}+a_{2 j}+a_{3 j}$ परिभाषित कीजिये, जहां $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है।
सूची-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $(P)$ आव्यूहों (matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ (entries) $T$ से हैं, और जिनमें सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ है, की संख्या है | ($1$) ($1$) |
| $(Q)$ सममित आव्यूहों (symmetric matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिनमें सभी $j$ के लिए $C,=0$ है, की संख्या है | ($2$) ($2$) |
| $(R)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा विषम सममित आव्यूह (skew symmetric matrix) है कि, $i > j$ के लिए $a_{i j} \in T$ है। तब समुच्चय$\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y \cdot z \in R, M\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{12} \\ 0 \\ -a_{23}\end{array}\right)\right\}$ में अवयवों (elements) की संख्या है | ($3$) अनंत (infinite) |
| $(S)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा आव्यूह है कि जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिसमें सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है। तब $M$ के सारणिक (determinant) का निरपेक्ष (absolute) मान है | ($4$) ($6$) |
| ($5$) ($0$) |
सही विकल्प है:
