चूंकि, ${4^n} – 3n – 1 = {(3 + 1)^n} – 3n – 1$ = ${3^n}{ + ^n}{C_1}{3^{n – 1}}{ + ^n}{C_2}{3^{n – 2}} + …..{ + ^n}{C_{n – 1}}3{ + ^n}{C_n} – 3n – 1$

= $^n{C_2}{3^2}{ + ^n}{C_3}{.3^3} + …..{ + ^n}{C_n}{3^n}$ ($^n{C_0}{ = ^n}{C_n},{\,^n}{C_1}{ = ^n}{C_{n – 1}}{\rm{ }}$आदि)

= $9{[^n}{C_2}{ + ^n}{C_3}(3) + …..{ + ^n}{C_n}{3^{n – 1}}]$

$\therefore $ ${4^n} – 3n – 1$, 9 का गुणक है, जबकि $n \ge 2$

$n = 1$ के लिए, ${4^n} – 3n – 1$ = $4 – 3 – 1 = 0$, $n = 2,$ के लिए ${4^n} – 3n – 1$= $16 – 6 – 1 = 9$

$\therefore $ ${4^n} – 3n – 1$, सभी $n \in N$ के लिए $9 $ का गुणक है।

$\therefore $ $9 $ के गुणक $X $ के अवयव हैं तथा स्पष्ट है कि $9$ के सभी गुणक $Y$ के भी अवयव हैं।

$\therefore $ $X \subseteq Y$, $\therefore $ $X \cup Y = Y$.