$m$ દળનો એક બોલ $2v_0$ ઝડપથી ગતિ કરતાં તેનાં જેવાં જ બીજા સ્થિર બોલ સાથે અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત કરે છે. $(e > 0)$ તો દર્શાવો કે .....

$(a)$ હેડ-ઓન સંઘાતમાં બંને બોલ આગળની દિશામાં ગતિ કરશે.

$(b)$ સામાન્ય સંઘાતમાં છૂટા પડતાં બંને બોલતા વેગો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ કરતાં ઓછો હશે. 

$(a)$ ધારો કે સંધાત બાદ બંને બોલના વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.

હવે વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

$m\left(2 v_{0}\right)=m v_{1}+m v_{2}$ (સ્થિર બોલ માટે $v_{0}=0$ )

હવે રેસ્ટિટ્યુશન ગુણોતર $e=\frac{v_{2}-v_{1}}{2 v_{0}}(\because$ વ્યાખ્યા પરથી $)$

$\therefore 2 e v_{0}=v_{2}-v_{1}$

$\therefore v_{2}=v_{1}+2 e v_{0}$

સમી. $(1)$ માં સમી. $(2)$નું મૂલ્ય મૂકતાં,

$2 v_{0}=v_{1}+u_{1}+2 e v_{0}$

$\therefore 2 v_{0} =2 v_{1}+2 e v_{0}$

$\therefore v_{0} =v_{1}+e v_{0}$

$\therefore v_{1} =v_{0}(1-e)$

પણ $e<1$ હોવાથી $v_{0}$ અને $v_{1}$ ધન મળે તેથી સંધાત બાદ બંને એક જ દિશામાં આગળ ગતિ કરશે.

$(b)$ સામાન્ય સંઘાત માટે નીચેની આકૃતિ વિચારો.

વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

$\vec{p}=\vec{p}_{1}+\overrightarrow{p_{2}}$

અસ્થિતિસ્થાપક સંધાતમાં થોડી ગતિઉર્જા ધટે છે તેથી

$\frac{p^{2}}{2 m}>\frac{p_{1}^{2}}{2 m}+\frac{p_{2}^{2}}{2 m}$

$\therefore p^{2}>p_{1}^{2}+p_{2}^{2}$

આમ, $\overrightarrow{p_{1}}$ અને $\overrightarrow{p_{2}}$ એ $\vec{p}$ સાથે આકૃતિ (ત્રિકોણ)માં દર્શાવ્યા મુજબ સંબંધ ધરાવે જ્યાં $\theta$ લધુકોણ બને છે.

તેથી $p^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2 p_{1} p_{2} \cos \theta$ અને $\theta=90^{\circ}$ માટે $p^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}$