एक वस्तु क्षैतिज से $30^o$ के कोण पर $9.8$ मीटर/सैकण्ड के वेग से प्रक्षेपित की जाती है। यह ....... $s$ समय बाद पृथ्वी तल से टकरायेगी

धरातल से $30^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया गया प्रक्षेप्य, प्रक्षेपण के पश्चात, उड्डयन के दौरान समय $3 \mathrm{~s}$ एवं $5 \mathrm{~s}$ पर समान ऊँचाई पर पाया जाता है। प्रक्षेप्य की प्रक्षेपण चाल________ $\mathrm{ms}^{-1}$ हैं। (दिया है $\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ )

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के $x -$अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं|

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान $\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$ होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य हैं।

नीचे दो कथन दिये गये है: एक को अभिकथन $A$ तथा दूसरे को कारण $R$ से चिन्हित किया गया है। अभिकथन $\mathrm{A}$ : जब एक पिण्ड को $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, इसकी परास अधिकतम है।

कारण $R$ : अधिकतम परास के लिए, $\sin 2 \theta$ का मान एक के बराबर होना चाहिए। उपरोक्त कथनों के संदर्भ में नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।

कोई कीड़ा एक वृत्तीय खाँचे में जिसकी त्रिज्या $12\, cm$ है, फँँस गया है । वह खाँचे के अनुदिश स्थिर चाल से चलता है और $100$ सेकंड में $7$ चक्कर लगा लेता है।

$(a)$ कीड़े की कोणीय चाल व रैखिक चाल कितनी होगी ?

$(b)$ क्या त्वरण सदिश एक अचर सदिश है। इसका परिणाम कितना होगा ?

एक पत्थर को क्षैतिज से $\theta$ कोण पर $u$ वेग से प्रक्षेपित करने पर यह अधिकतम ऊँचाई $H_1$ तक पहुँचता है। जब इसे क्षैतिज से $\left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right)$ कोण पर $u$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है, तो यह अधिकतम ऊँचाई $H_2$ तक पहुँचता है। क्षैतिज परास $R, H_1$ एवं  $H_2$ में सम्बन्ध है