Xy तल में गतिशील कण पर बल overrightarrow F = , - ,K(yhat{i}

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5.Work, Energy, Power and Collision

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$xy$ तल में गतिशील कण पर बल $\overrightarrow F = \, - \,K(y\hat i + x\hat j)$ (यहाँ $K $ एक धनात्मक नियतांक है) कार्य करता है। मूल बिन्दु से प्रारम्भ करके $x-$ अक्ष के अनुदिश $(a, 0)$ बिन्दु तक तत्पश्चात $y-$ अक्ष के समान्तर बिन्दु $(a, a)$ तक कण को विस्थापित करने में बल $F$ द्वारा किया गया कुल कार्य होगा

A

$ - 2K{a^2}$

B

$2K{a^2}$

C

$ - K{a^2}$

D

$K{a^2}$

Solution

बिंदु $(0,0)$ से $(a,0)$ तक गति करने पर $x-$अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश, $y = 0$ $ \Rightarrow \;\overrightarrow F = – kx\hat j$

अर्थात् बल $ y-$ की ऋणात्मक दिशा में है जबकि विस्थापन धनात्मक $x$ दिशा में होता है अत: ${W_1} = 0$ क्योंकि बल विस्थापन के अभिलंबवत् है।

अत: जब कण $y-$अक्ष के समांतर $(x = + a)$ रेखा के अनुदिश $(a,0)$ से $(a,a)$ बिन्दु तक गति करता है, तो इस दौरान कार्यरत् बल $\overrightarrow {\;F} = – k(y\hat i + a\hat j)$

इस बल का प्रथम घटक $ – ky\hat i$ कोई कार्य नहीं करेगा क्योंकि यह घटक $ x$ की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश है जबकि विस्थापन धनात्मक $y-$दिशा में $(a,0)$ से $(a,a)$ तक होता है। बल का द्वितीय घटक अर्थात् $ – ka\hat j$ द्वारा ऋणात्मक कार्य किया जाता है।

${W_2} = ( – ka\hat j)\;(a\hat j)$= $( – ka)\;(a)\; = – k{a^2}$

अत: कण पर किया गया कुल कार्य $W = {W_1} + {W_2}$

= $0 + ( – k{a^2}) = – k{a^2}$

Standard 11

Physics

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एकसमान बल $(4\hat i + \hat j + 3\hat k)\;N$ के अन्तर्गत कोई कण स्थिति $3\hat i + 2\hat j – 6\hat k$ से $14\hat i + 13\hat j + 9\hat k$ तक गति करता है। यदि विस्थापन मीटर में हो तो किया गया कार्य …….. $J $ होगा

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निम्नलिखित का उत्तर दीजिए:

$(a)$ किसी राकेट का बाह्य आवरण उड़ान के दौरान घर्षण के कारण जल जाता है। जलने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा किसके व्यय पर प्राप्त की गई-राकेट या वातावरण ?

$(b)$ धूमकेतु सूर्य के चारों ओर बहुत ही दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में घूमते हैं। साधारणतया धूमकेतु पर सूर्य का गुरुत्वीय बल धूमकेतु के लंबवत् नहीं होता है। फिर भी धूमकेतु की संपूर्ण कक्षा में गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। क्यों ?

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$(d)$ चित्र $(i)$ में एक व्यक्ति अपने हाथों में $15\, kg$ का कोई द्रव्यमान लेकर $2\, m$ चलता है। चित्र $(ii)$ में बह उतनी ही दूरी अपने पीछे रस्सी को खींचते हुए चलता है। रस्सी घिरनी पर चढ़ी हुई है और उसके दूसरे सिरे पर $15\, kg$ का द्रव्यमान लटका हुआ है । परिकलन कीजिए कि किस स्थिति में किया गया कार्य अधिक है ?

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सही विकल्प को रेखांकित कीजिए :

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$(b)$ किसी वस्तु द्वारा घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का परिणाम हमेशा इसकी गतिज/स्थितिज ऊर्जा में क्षय होता है।

$(c)$ किसी बहुकण निकाय के कुल संवेग-परिवर्तन की दर निकाय के बाह्य बल/आंतरिक बलों के जोड़ के अनुक्रमानुपाती होती है।

$(d)$ किन्हीं दो पिंडों के अप्रत्यास्थ संघट्ट में वे राशियाँ, जो संघट्ट के बाद नहीं बदलती हैं; निकाय की कुल गतिज ऊर्जा/कुल रेखीय संवेग/कुल ऊर्जा हैं।

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$R$ त्रिज्या के एक अर्द्धगोले की सतह से $m$ द्रव्यमान का एक पिण्ड अर्द्धगोले की दीवार से सटकर फिसलता है। अर्द्धगोले के निम्नतम बिन्दु पर पिण्ड का वेग होगा [

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बतलाइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।

$(a)$ किन्हीं दो पिंडों के प्रत्यास्थ संघट्ट में, प्रत्येक पिंड का संवेग व ऊर्जा संरक्षित रहती है।

$(b)$ किसी पिंड पर चाहे कोई भी आंतरिक व बाह्य बल क्यों न लग रहा हो, निकाय की कुल ऊर्जा सर्वदा संरक्षित रहती है।

$(c)$ प्रकृति में प्रत्येक बल के लिए किसी बंद लूप में, किसी पिंड की गति में किया गया कार्य शून्य होता है।

$(d)$ किसी अप्रत्यास्थ संघट्ट में, किसी निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा, आरंभिक गतिज ऊर्जा से हमेशा कम होती है ।

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