એક ગનમાંથી $v_0$ જેટલી મહત્તમ ઝડપથી ગોળી છોડી શકે છે અને મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{max} = \frac {v_0^2}{g}$ મેળવી શકાય છે. જો લક્ષ્ય એ $R_{max}$ થી $\Delta x$ જેટલું દૂર હોય તો દર્શાવો કે ગનને ઓછામાં ઓછા $h = \Delta x\,\left[ {1 + \frac{{\Delta x}}{R}} \right]$ જેટલી ઊંચાઈએથી આ જ લક્ષ્યને આ જ ગન વડે ગોળી ફાયર કરવાથી વીંધી શકાય.
એક ગનમાંથી $v_0$ જેટલી મહત્તમ ઝડપથી ગોળી છોડી શકે છે અને મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{max} = \frac {v_0^2}{g}$ મેળવી શકાય છે. જો લક્ષ્ય એ $R_{max}$ થી $\Delta x$ જેટલું દૂર હોય તો દર્શાવો કે ગનને ઓછામાં ઓછા $h = \Delta x\,\left[ {1 + \frac{{\Delta x}}{R}} \right]$ જેટલી ઊંચાઈએથી આ જ લક્ષ્યને આ જ ગન વડે ગોળી ફાયર કરવાથી વીંધી શકાય.
મહંત્તમ અવધિ $R _{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{g}$ જ્યાં $\theta=45^{\circ}$
આકૃતિ પરથી લક્ષ્યનું સમક્ષિતિજ અંતર $x= R _{\max }+\Delta x$ અને તેને વીંધવા પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ $y=-h$ હશે.
અધોદિશાને ધન લઈએ તો $y=-h$ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ મળે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગનો ધટક $v_{x}=v_{0} \cos \theta$ અને ઊર્ધ્વ દિશામાં વેગનો ધટક $v_{y}=-v_{0} \sin \theta$ જ્યાં $v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta=45^{\circ}$ છે.
ઊર્ધ્વ દિશામાંની ગતિ માટે,
$h=v_{y} t+\frac{1}{2} g t^{2}$
$h=\left(-v_{0} \sin \theta\right) t+\frac{1}{2} g t^{2}$$.......2$
અને સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,
$R _{\max }-\Delta x=v_{x} t$
$=v_{0} \cos \theta t$
$\therefore t=\frac{ R _{\max }+\Delta x}{v_{0} \cos \theta}$$.......3$
સમી. $(3)$માંથી $t$ની કિમંત સમી.$(2)$માં મૂકતાં,
$h$$=-v_{0} \sin \theta \times\left(\frac{ R _{\max }+\Delta x}{v_{0} \cos \theta}\right)+\frac{1}{2} g\left(\frac{ R _{\max }+\Delta x}{v_{0} \cos \theta}\right)^{2}$
$h$$=-\tan \theta\left( R _{\max }+\Delta x\right)+\frac{1}{2} \frac{g\left( R _{\max }+\Delta x\right)^{2}}{v_{0}^{2} \cos \theta}$
Similar Questions
જો એક પદાર્થ $A$ દળ $M$ ને સમક્ષિતિજ સાથે $30^o$ ના ખૂણા પર $v$ વેગથી ફેકવામાં આવે અને બીજા સમાન દળના પદાર્થ $B$ ને સમક્ષિતિજ સાથે $60^o$ ના ખૂણા પર સમાન ઝડપથી ફેકવામાં આવે છે. $A$ અને $B$ ની અવધિઓનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
જો એક પદાર્થ $A$ દળ $M$ ને સમક્ષિતિજ સાથે $30^o$ ના ખૂણા પર $v$ વેગથી ફેકવામાં આવે અને બીજા સમાન દળના પદાર્થ $B$ ને સમક્ષિતિજ સાથે $60^o$ ના ખૂણા પર સમાન ઝડપથી ફેકવામાં આવે છે. $A$ અને $B$ ની અવધિઓનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
- [AIPMT 1992]
વેગ $v$ અને શિરોલંબ સાથે ખૂણો $\theta$ બને તેમ પદાર્થને પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં સુધી પદાર્થ હવામાં છે તે સમય અંતરાલ કેટલો હશે?
વેગ $v$ અને શિરોલંબ સાથે ખૂણો $\theta$ બને તેમ પદાર્થને પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં સુધી પદાર્થ હવામાં છે તે સમય અંતરાલ કેટલો હશે?
- [AIIMS 2013]
એક પદાર્થને જમીન $20 \,m / s$ ની ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ખૂણે પ્રક્ષિપ કરવામાં આવે છે. એક સેકન્ડ પછી તેના પ્રક્ષેપણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ......... $m / s ^2$ હશે.
એક પદાર્થને જમીન $20 \,m / s$ ની ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ખૂણે પ્રક્ષિપ કરવામાં આવે છે. એક સેકન્ડ પછી તેના પ્રક્ષેપણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ......... $m / s ^2$ હશે.
આપેલી આકૃતિમાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે કયો વિકલ્પ યોગ્ય છે.
આપેલી આકૃતિમાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે કયો વિકલ્પ યોગ્ય છે.
એક ક્રિકેટનો ફિલ્ડર દડાને $v_0$ વેગથી ફેંકી શકે છે. જો તે $u$ ઝડપથી દોડતા-દોડતા દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta $ કોણે ફેંકે તો નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ શોધો.
$(a)$ પ્રેક્ષકને દડો હવામાં સમક્ષિતિજ સાથે કેટલાં પરિણામી કોણે પ્રક્ષિપ્ત થયેલો દેખાશે ?
$(b)$ દડાનો ઉડ્ડયન સમય કેટલો હશે ?
$(c)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુથી તે સમક્ષિતિજ દિશામાં જમીન પર પડે તેમની વચ્ચેનું અંતર કેટલું ?
$(d)$ $(c)$ માં મેળવેલ અંતર માટે તેણે કેટલાં કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો જોઈએ કે જેથી મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર મળે ?
$(e)$ જો $u > u_0$. $u =u_0$ અને $u < v_0$, હોય તો મહત્તમ અવધિ માટેનો પ્રપ્તિ કોણ $\theta $ કેવી રીતે બદલાશે ?
$(f)$ $u = 0$ (એટલે કે $45^o$ ) સાથે $(v)$ મળતા $\theta $ ને કેવી રીતે સરખાવી શકાય ?
એક ક્રિકેટનો ફિલ્ડર દડાને $v_0$ વેગથી ફેંકી શકે છે. જો તે $u$ ઝડપથી દોડતા-દોડતા દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta $ કોણે ફેંકે તો નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ શોધો.
$(a)$ પ્રેક્ષકને દડો હવામાં સમક્ષિતિજ સાથે કેટલાં પરિણામી કોણે પ્રક્ષિપ્ત થયેલો દેખાશે ?
$(b)$ દડાનો ઉડ્ડયન સમય કેટલો હશે ?
$(c)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુથી તે સમક્ષિતિજ દિશામાં જમીન પર પડે તેમની વચ્ચેનું અંતર કેટલું ?
$(d)$ $(c)$ માં મેળવેલ અંતર માટે તેણે કેટલાં કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો જોઈએ કે જેથી મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર મળે ?
$(e)$ જો $u > u_0$. $u =u_0$ અને $u < v_0$, હોય તો મહત્તમ અવધિ માટેનો પ્રપ્તિ કોણ $\theta $ કેવી રીતે બદલાશે ?
$(f)$ $u = 0$ (એટલે કે $45^o$ ) સાથે $(v)$ મળતા $\theta $ ને કેવી રીતે સરખાવી શકાય ?