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द्रव्यमान (mass) $m$ का एक कण शुरुआत में मूल बिंदु (origin) पर विरामावस्था में है। कण पर एक बल लगाने से वह $x$-अक्ष पर चलने लगता है और कण की गतिज उर्जा (kinetic energy) $K$, समय के साथ $d K / d t=\gamma t$ के अनुसार परिवर्तित होती है, जहाँ $\gamma$ एक उचित विमाओं वाला धनात्मक नियतांक (positive constant) है। निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सही है (हैं)?
$(A)$ कण पर लगाया गया बल नियत (constant) है
$(B)$ कण की चाल समय के समानुपातिक (proportional) है
$(C)$ कण की मूल बिंदु से तय की गयी दूरी, समय के साथ रेखीय तरीके से (linearly) बढ़ती है
$(D)$ बल संरक्षी (conservative) है
$A,B,C$
$A,B,D$
$A,B$
$A,C$
Solution
$\frac{ dK }{ dt }=\gamma t$
$K =\frac{1}{2} mv ^2$
$\frac{ dK }{ dt }=\frac{1}{2} m \times 2 v \frac{ dv }{ dt }=\gamma t$
$v \frac{ dv }{ dt }=\frac{\gamma t }{ m }$
$\int vdv =\frac{\gamma}{ m } \int tdt$
$\frac{ v ^2}{2}=\frac{\gamma}{ m } \cdot \frac{ t ^2}{2}$
$v =\sqrt{\frac{\gamma}{ m }} \cdot t \text { (proportional to time) }$
$a =\frac{ dv }{ dt }=\sqrt{\frac{\gamma}{ m }}$
$F = ma =\sqrt{\gamma m } \text { (constant) }$
