એક માણસ મહત્તમ $100\,m$ ની રેન્જ સુધી બોલ ફેંકી શકે છે. તે જમીનથી ઉપર કેટલે ઊંચે સુધી બોલને ફેંકી શકે ?

બે પ્રક્ષિત પદાર્થોને સમાન પ્રારંભિક વેગ અને સમક્ષિતિજ સાથે અનુક્રમે $45^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ કોણે ફેંકવામાં આવે છે. તેઓની અવધિઓનો ગુણોત્તર $.........$ છે.

જમીન પરથી પ્રક્ષિપ્ત થયેલો કણ પ્રક્ષેપણની એક સેકંડ પછી સમક્ષિતિજથી $45^{\circ}$ ખૂણે ગતિથી કરે છે અને બે સેકંડ પછીથી લધુત્તમ ગતિ મેળવે છે. આ માટે પ્રક્ષેપણનો ખૂણો શોધો [હવાના અવરોધને અવગણો]

એક ક્રિકેટનો ફિલ્ડર દડાને $v_0$ વેગથી ફેંકી શકે છે. જો તે $u$ ઝડપથી દોડતા-દોડતા દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta $ કોણે ફેંકે તો નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ શોધો.

$(a)$ પ્રેક્ષકને દડો હવામાં સમક્ષિતિજ સાથે કેટલાં પરિણામી કોણે પ્રક્ષિપ્ત થયેલો દેખાશે ?

$(b)$ દડાનો ઉડ્ડયન સમય કેટલો હશે ?

$(c)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુથી તે સમક્ષિતિજ દિશામાં જમીન પર પડે તેમની વચ્ચેનું અંતર કેટલું ?

$(d)$ $(c)$ માં મેળવેલ અંતર માટે તેણે કેટલાં કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો જોઈએ કે જેથી મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર મળે ?

$(e)$ જો $u > u_0$.  $u =u_0$  અને $u < v_0$, હોય તો મહત્તમ અવધિ માટેનો પ્રપ્તિ કોણ $\theta $ કેવી રીતે બદલાશે ?

$(f)$ $u = 0$ (એટલે કે $45^o$ ) સાથે $(v)$ મળતા $\theta $ ને કેવી રીતે સરખાવી શકાય ?

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ અવધિ માટેનું સૂત્ર મેળવો અને મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર મેળવો.

ગૅલિલિયોએ તેના પુસ્તક $“Two New Sciences”$ માં એવું વિધાન કર્યું છે. $45^o$ ના ખૂણા સાથે સમાન તફાવત ધરાવતાં બે જુદા-જુદા કોણે પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે, તો તેમની અવધિ સમાન હોય છે. આ વિધાન સાબિત કરો.