अविस्तारित L लम्बाई की एकसमान शंकुनुम?

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8.Mechanical Properties of Solids

hard

अविस्तारित $L$ लम्बाई की एकसमान शंकुनुमा तार के सिरों की त्रिज्या क्रमशः $R$ तथा $3R$ हैं। उसकी धातु का यंग-माडुलस $Y$ है। $R$ त्रिज्या वाले सिरे को एक ढृढ़ आधार पर जड़ित किया गया है तथा दूसरे सिरे पर $M$ द्रव्यमान लटकाया गया है। संतुलन-अवस्था में तार की लम्बाई होगी

A

$L\left( {1 + \frac{2}{9}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

B

$L\left( {1 + \frac{1}{9}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

C

$L\left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

D

$L\left( {1 + \frac{2}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

(JEE MAIN-2016)

Solution

Consider a small element $dx$ of radius $r$,

$r = \frac{{2R}}{L}x + R$

At equilibrium change in length of the wire

$\int\limits_0^l {dL = \int {\frac{{Mgdx}}{{\pi {{\left[ {\frac{{2R}}{L}x + R} \right]}^2}y}}} } $

Taking limit from $0$ to $L$

$\Delta L = \frac{{Mg}}{{\pi y}} – \frac{1}{{\left[ {\frac{{2Rx}}{L} + R} \right]_0^L}} \times \frac{L}{{2R}} = \frac{{MgL}}{{3\pi {R^2}y}}$

The equilibrium extended length of wire

$ = L + \Delta L$

$ = L + \frac{{MgL}}{{3\pi {R^2}Y}} = L\left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

Standard 11

Physics

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easy

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medium

(JEE MAIN-2021)

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(दिया है, स्टील तथा पीतल के यंग प्रत्यास्थता गुणांक, क्रमश: $120 \times 10^{9} \,N / m ^{2}$ तथा $60 \times 10^{9} \, N / m ^{2}$ है)

hard

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medium

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hard

(JEE MAIN-2024)