ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનને અનુક્રમે $(0, 0, 0)$ અને $(0, 0, 1.5\, R)$ સ્થાનેથી ${\rm{\vec B = }}{{\rm{B}}_0}{\rm{\hat i}}$ તીવ્રતાવાળા ચુંબકીયક્ષેત્રમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે. દરેક કણના સમાન વેગમાનનું મૂલ્ય $P = eBR$ છે, તો કઈ પરિસ્થિતિમાં આ કણોના વેગમાનની દિશાથી બનતી કક્ષાના વર્તુળો એકબીજાને છેદશે નહીં ?

જે ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝીટ્રોનથી બનતા વર્તુળના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ થી વધુ હોય, તો આ વર્તુળો એકબીજાને છેદશે નહીં. ચુંબકીયક્ષેત્ર $\overrightarrow{ B } x$-અક્ષની દિશામાં છે તેથી બંને કણો માટે તેમની વર્તુળાકાર કક્ષા માટેનું વેગમાન $y z$-સમતલમાં મળે. બંને કણો $R$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.

ધારો કે, $P _{1}$ અને $P _{2}$ અનુક્રમે ઈલેક્ટ્રોન અને પોઝીટ્રેનના વેગમાન છે.

ધારો કે, $P _{1} y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો રચે છે અને $P _{2}$ પણ તેટલો જ ખૂણો રચે છે.

આ ક્રમિક વર્તુળોના કેન્દ્રો ચાકમાત્રાને લંબરૂપે અને $R$ અંતરે છે.

ઈલેક્ટ્રોન અને પોઝીટ્રોનના વર્તુળ માર્ગના કેન્દ્રો અનુક્રમે $C _{ e }$ अને $C _{ p }$ છે.

$C _{ e }$ ના યામ $(0,- R \sin \theta, R \cos \theta)$ છે.

$C _{ p }$ ના યામ $\left(0,- R \sin \theta, \frac{3}{2} R - R \cos \theta\right)$ છે.

જો બે વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ કરતાં વધુ હોય, તો આ વર્તુળો એક્બીજાને છેદે નહી. ધારો કે, $C _{ p }$ અને $C _{ e }$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.

$\therefore d^{2}=(2 R \sin \theta)^{2}+\left(\frac{3}{2} R -2 R \cos 0^{\circ}\right)^{2}$

$d^{2} =4 R ^{2} \sin ^{2} \theta+\frac{9}{4} R ^{2}-6 R ^{2} \cos \theta+4 R ^{2} \cos ^{2} \theta$

$=4 R ^{2}+\frac{9}{4} R ^{2}-6 R ^{2} \cos \theta$