$x$ ની . . . કિમત માટે $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + {\omega ^2}}&\omega &1\\\omega &{{\omega ^2}}&{1 + x}\\1&{x + \omega }&{{\omega ^2}}\end{array}\,} \right| = 0$ થાય.

જો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}   {a - b}&{b - c}&{c - a} \\    {b - c}&{c - a}&{a - b} \\    {c - a + 1}&{a - b}&{b - c}  \end{array}} \right| = 0$ ,$\left( {a,b,c \in R - \left\{ 0 \right\}} \right),$ તો 

જો $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, અને $\Delta=\left|\begin{array}{lll}
b+c & c+a & a+b \\
c+a & a+b & b+c \\
a+b & b+c & c+a
\end{array}\right|=0$ હોય, તો સાબિત કરો કે $a+b+c=0$ અથવા $a=b=c$.

સાબિત કરો કે, $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
(y+z)^{2} & x y & z x \\
x y & (x+z)^{2} & y z \\
x z & y z & (x+y)^{2}
\end{array}\right|=2 x y z(x+y+z)^{3}$

જો $\mathrm{a, b, c}$ પૈકી પ્રત્યેક બે અસમાન અને પ્રત્યેક ધન હોય, તો સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક $\Delta=\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય ઋણ છે.

સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b\end{array}\right|=4 a b c$