सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
Applying $R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3},$ we have:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
Applying $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}, C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1},$ we have:
$\Delta=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -(a+b+c) & 0 \\ 2 c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$=(a+b+c)^{3}\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -1 & 0 \\ 2 c & 0 & -1\end{array}\right|$
Expanding along $C_{3},$ we have:
$\Delta=(a+b+c)^{3}(-1)(-1)=(a+b+c)^{3}$
Hence, the given result is proved.
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$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + 2b}\\{a + 2b}&a&{a + b}\\{a + b}&{a + 2b}&a\end{array}\,} \right|$ =
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + 2b}\\{a + 2b}&a&{a + b}\\{a + b}&{a + 2b}&a\end{array}\,} \right|$ =
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{ab}&{ca}\\{ab}&{{b^2} + {x^2}}&{bc}\\{ca}&{bc}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}\,} \right|$ का भाजक है
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{ab}&{ca}\\{ab}&{{b^2} + {x^2}}&{bc}\\{ca}&{bc}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}\,} \right|$ का भाजक है
यदि $a + x = b + y = c + z +1$ है, जहाँ $a , b , c , x$, $y , z$ शून्येत्तर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं , तो $\left|\begin{array}{lll} x & a + y & x + a \\ y & b + y & y + b \\ z & c + y & z + c \end{array}\right|$ बराबर है
यदि $a + x = b + y = c + z +1$ है, जहाँ $a , b , c , x$, $y , z$ शून्येत्तर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं , तो $\left|\begin{array}{lll} x & a + y & x + a \\ y & b + y & y + b \\ z & c + y & z + c \end{array}\right|$ बराबर है
- [JEE MAIN 2020]
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha + b}\\b&c&{b\alpha + c}\\{a\alpha + b}&{b\alpha + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$, if $a,b,c$
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha + b}\\b&c&{b\alpha + c}\\{a\alpha + b}&{b\alpha + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$, if $a,b,c$
- [IIT 1987]
यदि $a, b$ और $ c$ तीन अशून्य वास्तविक संख्यायें हैं, तो $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}{c^2}}&{bc}&{b + c}\\{{c^2}{a^2}}&{ca}&{c + a}\\{{a^2}{b^2}}&{ab}&{a + b}\end{array}\,} \right| $ =
यदि $a, b$ और $ c$ तीन अशून्य वास्तविक संख्यायें हैं, तो $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}{c^2}}&{bc}&{b + c}\\{{c^2}{a^2}}&{ca}&{c + a}\\{{a^2}{b^2}}&{ab}&{a + b}\end{array}\,} \right| $ =