$\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધો.

જો $a,b,c$ ધન અને અસમાન હોય , તો નિશ્રાયક $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right|$ ની કિમત . . .. .

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\alpha - \beta )}&{\cos \alpha }\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos \beta }\\{\cos \alpha }&{\cos \beta }&1\end{array}\,} \right|=$

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ = . . .

વિધાન $1$ : જો સમીકરણો $x + ky + 3z = 0, 3x+ ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો $k$ ની કિમંત $\frac{31}{2}$ થાય .

વિધાન $2$ : ત્રણ સજાતીય સમીકરણોના સહગુણકોનો નિશ્રાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય તો સમીકરણોનો ઉકેલ શૂન્યતર ઉકેલ મળે.

જો $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે કે જેથી  $B^2 = 0$, તો $|( I+ B)^{50} -50B|$ = . . .