दर्शाइए कि सारणिक

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
(y+z)^{2} & x y & z x \\
x y & (x+z)^{2} & y z \\
x z & y z & (x+y)^{2}
\end{array}\right|=2 x y z(x+y+z)^{3}$

यदि $a \neq 0$ हो तो समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$ को हल कीजिए।

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&{x – z}&{x – y}\\{y – z}&{z – x}&{y – x}\\{z – y}&{z – x}&{x + y}\end{array}\,} \right| = k\,xyz$,तो $ k$  का मान है

$x$ के किस मान के लिये $x$ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + {\omega ^2}}&\omega &1\\\omega &{{\omega ^2}}&{1 + x}\\1&{x + \omega }&{{\omega ^2}}\end{array}\,} \right| = 0$

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}x+y+2 z & x & y \\ z & y+z+2 x & y \\ z & x & z+x+2 y\end{array}\right|=2(x+y+z)^{3}$