જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right| = k(a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2}$ $ - bc - ca - ab)$, તો  $k =$

સુરેખ સમીકરણો $a(x + y + z)=x,b(x + y + z) = y, c(x + y + z) = z$ કે જ્યાં $a,b,c$  એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે . જો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x,y,z$ છે કે જેથી  $xyz \neq 0,$ તો   $(a + b + c)$ મેળવો.

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 + {x^2}}&{ - 6}&{ - 2}\\
{ - 6}&{9 + {x^2}}&3\\
{ - 2}&3&{1 + {x^2}}
\end{array}} \right|$ $;(x\neq0)$ એ . . . વડે વિભાજ્ય નથી .

સમીકરણની સંહતિ $a + b - 2c = 0,$ $2a - 3b + c = 0$ અને $a - 5b + 4c = \alpha $ એ સુસંગત થવા માટે $\alpha$ મેળવો.

ધારો કે  $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha\end{array}\right]$ અને  $|2 A|^3=2^{21}$ છે જ્યાં  $\alpha, \beta \in Z$,તો  $\alpha $ ની એક કિંમત ______________ છે.

$\theta \in(0,4 \pi)$ ની કેટલી કિમંતો માટે સમીકરણ સંહતિ $3(\sin 3 \theta) x-y+z=2$, $3(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=3$, $6 x+7 y+7 z=9$ ને એકપણ ઉકેલ ન હોય.