यदि रेखीय समीकरणों के निकाय 7 x+11 y+α z=13 5 x+4 y+7

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

यदि रेखीय समीकरणों के निकाय

$7 x+11 y+\alpha z=13$

$5 x+4 y+7 z=\beta$

$175 x+194 y+57 z=361$

के अनंत हल है, तो $\alpha+\beta+2$ बराबर है

A

$4$

B

$3$

C

$5$

D

$6$

(JEE MAIN-2023)

Solution

Sol. $7 x+11 y+\alpha z=13$

$5 x+4 y+7 z=\beta$

$175 x+194 y+57 z=361$

$\text { (i) } \times 10+(\text { ii }) \times 21-(\text { iii) }$

$z (10 \alpha+147-57)=130+21 \beta-361$

$\therefore 10 \alpha+90=0$

$\alpha=-9$

$130-361+21 \beta=0$

$\beta=11$

$\alpha+\beta+2=4$

Standard 12

Mathematics

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तीन संख्याओं का योग $6$ है। यदि हम तीसरी संख्या को $3$ से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दें तो हमें $11$ प्राप्त होता है। पहली ओर तीसरी को जोड़ने से हमें दूसरी संख्या का दुगुना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निरूपण कीजिए और आव्यूह विधि से संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

hard

माना $\lambda$ के मानों, जिनके लिए समीकरण निकाय

$6 \lambda x-3 y+3 z=4 \lambda^2$

$2 x+6 \lambda y+4 z=1,$

$3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \lambda \mathrm{z}=\lambda$ का कोई हल नहीं है, का समुच्चय $\mathrm{S}$ है, तो $12 \sum_{\lambda \in \mathrm{S}}|\lambda|$ बराबर है___________|

normal

(JEE MAIN-2023)

निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए :

$2 x-y=5$ ; $x+y=4$

medium

माना कि $p, q$ एवं $r$ शून्येतर वास्तविक संख्यायें (nonzero real numbers) है जो एक हरात्मक श्रेढ़ी (harmonic progression) के क्रमश: $10$ वाँ, $100$ वाँ एवं $1000$ वाँ पद (terms) है। रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations)

$x+y+z=1$

$10 x+100 y+1000 z=0$

$q r x+p r y+p q z=0$.

पर विचार कीजिए।

$List-I$ $List-II$

($I$) यदि $\frac{ q }{ r }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का ($P$) हल $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ हैं

($II$)यदि $\frac{ p }{ r } \neq 100$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का ($Q$) हल $x =\frac{10}{9}, y =-\frac{1}{9}, z =0$ हैं

($III$)यदि $\frac{ p }{ q } \neq 10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का ($R$) अनंत हल (infinitely many solutions) है

($IV$) यदि $\frac{ p }{ q }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का ($S$) कोई हल नहीं (no solution) है

($T$) कम से कम एक हल (at least one solution) है

सही विकल्प हैं

hard

(IIT-2022)

यदि $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ है तो $A ^{-1}$ ज्ञात कीजिए। $A ^{-1}$ का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।

$2 x-3 y+5 z=11$

$3 x+2 y-4 z=-5$

$x+y-2 z=-3$

hard