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माना कि $p, q$ एवं $r$ शून्येतर वास्तविक संख्यायें (nonzero real numbers) है जो एक हरात्मक श्रेढ़ी (harmonic progression) के क्रमश: $10$ वाँ, $100$ वाँ एवं $1000$ वाँ पद (terms) है। रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations)
$x+y+z=1$
$10 x+100 y+1000 z=0$
$q r x+p r y+p q z=0$.
पर विचार कीजिए।
| $List-I$ | $List-II$ |
| ($I$) यदि $\frac{ q }{ r }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($P$) हल $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ हैं |
| ($II$)यदि $\frac{ p }{ r } \neq 100$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($Q$) हल $x =\frac{10}{9}, y =-\frac{1}{9}, z =0$ हैं |
| ($III$)यदि $\frac{ p }{ q } \neq 10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($R$) अनंत हल (infinitely many solutions) है |
| ($IV$) यदि $\frac{ p }{ q }=10$ है, तब रैखिक समीकरणों के निकाय का | ($S$) कोई हल नहीं (no solution) है |
| ($T$) कम से कम एक हल (at least one solution) है |
सही विकल्प हैं
$(I) \rightarrow (T); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (T)$
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (R)$
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (P); (IV) \rightarrow (R)$
$(I) \rightarrow (T); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (P); (IV) \rightarrow (T)$
Solution
If $\frac{ q }{ r }=10 \Rightarrow A = D \Rightarrow D _{ x }= D _{ y }= D _{ z }=0$
So, there are infinitely many solutions
Look of infinitely many solutions can be given as
$x+y+z=1$
$10 x+100 y+1000 z=0 \Rightarrow x+10 y+100 z=0$
Let $z=\lambda$
then $x+y=1-\lambda$
and $x+10 y=-100 \lambda$
$\Rightarrow x=\frac{10}{9}+10 \lambda ; y=\frac{-1}{9}-11 \lambda$
i.e., $(x, y, z)=\left(\frac{10}{9}+10 \lambda, \frac{-1}{9}-11 \lambda, \lambda\right)$
$Q\left(\frac{10}{9}, \frac{-1}{9}, 0\right)$ valid for $\lambda=0$
$P\left(0, \frac{10}{9}, \frac{-1}{9}\right)$ not valid for any $\lambda$.
$(I)$ $\rightarrow$ $Q,R,T$
$(II)$ If $\frac{p}{I} \neq 100$, then $D_y \neq 0$
So no solution
$(II)$ $\rightarrow$ $(S)$
$(III)$ If $\frac{ P }{ q } \neq 10$, then $D _z \neq 0$ so, no solution
$(III)$ $\rightarrow$ $(S)$
$(IV)$ If $\frac{ p }{ q }=10 \Rightarrow D _z=0 \Rightarrow D _{ x }= D _y=0$
so infinitely many solution
$(IV)$ $\rightarrow$ $Q.R.T$
Similar Questions
माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल (roots) हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार कीजिये । एक $3 \times 3$ आव्यूह (matrix) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ के लिए, $R_i=a_{i 1}+a_{i 2}+a_{i 3}$ और $C_j=a_{1 j}+a_{2 j}+a_{3 j}$ परिभाषित कीजिये, जहां $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है।
सूची-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $(P)$ आव्यूहों (matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ (entries) $T$ से हैं, और जिनमें सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ है, की संख्या है | ($1$) ($1$) |
| $(Q)$ सममित आव्यूहों (symmetric matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिनमें सभी $j$ के लिए $C,=0$ है, की संख्या है | ($2$) ($2$) |
| $(R)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा विषम सममित आव्यूह (skew symmetric matrix) है कि, $i > j$ के लिए $a_{i j} \in T$ है। तब समुच्चय$\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y \cdot z \in R, M\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{12} \\ 0 \\ -a_{23}\end{array}\right)\right\}$ में अवयवों (elements) की संख्या है | ($3$) अनंत (infinite) |
| $(S)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा आव्यूह है कि जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिसमें सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है। तब $M$ के सारणिक (determinant) का निरपेक्ष (absolute) मान है | ($4$) ($6$) |
| ($5$) ($0$) |
सही विकल्प है:
