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3.Trigonometrical Ratios, Functions and Identities
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माना फलन $f:(0, \pi) \rightarrow R$ है, जो
$f (\theta)=(\sin \theta+\cos \theta)^2+(\sin \theta-\cos \theta)^4$
द्वारा परिभाषित है। माना फलन $f$ का $\theta$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है जब $\theta \in\left\{\lambda_1 \pi, \ldots, \lambda_{ s } \pi\right\}$, जहाँ $0<\lambda_1<\ldots<\lambda_{ s }<1$ है। तब $\lambda_1+\ldots+\lambda_{ s }$ का मान होगा
A
$0.40$
B
$0.50$
C
$0.60$
D
$0.70$
(IIT-2020)
Solution
$f(\theta) =(\sin \theta+\cos \theta)^2+(\sin \theta-\cos \theta)^4$
$f(\theta) =\sin ^2 2 \theta-\sin 2 \theta+2$
$f^{\prime}(\theta) =2(\sin 2 \theta) \cdot(2 \cos 2 \theta)-2 \cos 2 \theta$
$ =2 \cos 2 \theta(2 \sin 2 \theta-1)$
critical points
so, minimum at $\theta=\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$
$\lambda_1+\lambda_2=\frac{1}{12}+\frac{5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
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