ધારો કે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $x +2 y + z =2$, $\alpha x +3 y - z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha$ સુસંગત નથી.તો $\alpha=\dots\dots\dots\dots$

જેના માટે સમીકરણ સંહતિ

$ x+y+z=4, $

$ 2 x+5 y+5 z=17, $

$ x+2 y+\mathrm{m} z=\mathrm{n}$

ને અસંખ્ય ઉકલો હોય, તેવી $m, n$ ની કિંમતો .......... સમીક૨ણ નું સમાધાન કરે છે.

જો ${a_1},{a_2},{a_3}.....{a_n}....$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં હોય તો  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\log {a_n}}&{\log {a_{n + 1}}}&{\log {a_{n + 2}}}\\{\log {a_{n + 3}}}&{\log {a_{n + 4}}}&{\log {a_{n + 5}}}\\{\log {a_{n + 6}}}&{\log {a_{n + 7}}}&{\log {a_{n + 8}}}\end{array}\,} \right|$ ની કિમંત મેળવો.

જો  $x, y, z$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $d , x \neq 3 d ,$ આપેલ છે અને શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 \sqrt{2} & x \\ 4 & 5 \sqrt{2} & y \\ 5 & k & z\end{array}\right]$ નું મૂલ્ય શૂન્ય છે તો  $k ^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\3&5&7\\8&{14}&{20}\end{array}\,} \right|$ = . . .

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{{\omega ^2}}&\omega \\1&\omega &{{\omega ^2}}\end{array}\,} \right| = $