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4-1.Complex numbers
medium
$\frac{{3 + 2i\sin \theta }}{{1 - 2i\sin \theta }}$पूर्णत: अधिकल्पित होगा, यदि $\theta = $ [जहाँ $n$ एक पूर्णांक है]
A
$2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$
B
$n\pi + \frac{\pi }{3}$
C
$n\pi \pm \frac{\pi }{3}$
D
इनमें से कोई नहीं
(IIT-1976)
Solution
(c) $\frac{{3 + 2i\sin \theta }}{{1 – 2i\sin \theta }}$ पूर्ण काल्पनिक होगा यदि इसका वास्तविक भाग शून्य हो अर्थात् $\frac{{3 – 4{{\sin }^2}\theta }}{{1 + 4{{\sin }^2}\theta }} = 0$
$⇒$ $3 – 4{\sin ^2}\theta = 0$ (केवल तभी जब $\theta $ वास्तविक है)
$⇒$ $\sin \theta = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right)$
$⇒$ $\theta = n\pi + {( – 1)^n}\left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right) = n\pi \pm \frac{\pi }{3}$
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