यदि सम्मिश्र संख्या z ≠ 0 के लिए left|z-frac{1}{z}righ

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4-1.Complex numbers

hard

यदि सम्मिश्र संख्या $z \neq 0$ के लिए $\left|z-\frac{1}{z}\right|=2$ है, तो $| z |$ का अधिकतम मान है-

A

$\sqrt{2}$

B

$1$

C

$\sqrt{2}-1$

D

$\sqrt{2}+1$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$| z -1 / z |=2$

|| $z \left|-\frac{1}{| z |}\right| \leq\left| z -\frac{1}{ z }\right| \leq| z |+\frac{1}{| z |}$

$\left| r -\frac{1}{ r }\right| \leq 2 \leq r +\frac{1}{ r }$

$\left| r -\frac{1}{ r }\right| \leq 2 \& r +\frac{1}{ r } \geq 2$ always true

$r -\frac{1}{ r } \geq-2 \& r -\frac{1}{ r } \leq 2$

$r ^{2}-1 \leq 2 r$

$r ^{2}-2 r \leq 1$

$( r -1)^{2} \leq 2$

$r -1 \leq \sqrt{2}$

$\left.\therefore z \right|_{\max }=1+\sqrt{2}$

Standard 11

Mathematics

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माना $S _1=\left\{ z _1 \in C :\left| z _1-3\right|=\frac{1}{2}\right\}$ तथा $S _2=\left\{ z _2 \in C :\left| z _2-\right| z _2+1||=\left| z _2+\right| z _2-1||\right\}$ हैं। तब $z_1 \in S_1$ तथा $z_2 \in S_2$ के लिए, $\left|z_2-z_1\right|$ का निम्नतम मान है :

hard

(JEE MAIN-2022)

निम्नलिखित व्यंजक को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए

$\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}$

medium

यदि $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6),$ जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तब $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

easy

$x^{2}+2=0$ को हल कीजिए।

easy

धनात्मक पूर्णांकों ${n_1},{n_2}$ के लिये व्यंजक ${(1 + i)^{{n_1}}} + {(1 + {i^3})^{{n_1}}} + {(1 + {i^5})^{{n_2}}} + {(1 + {i^7})^{{n_2}}}$जहाँ $i = \sqrt { – 1} $ है, का मान एक वास्तविक संख्या है, यदि और केवल यदि

hard

(IIT-1996)