4-1.Complex numbers
hard

माना  $z$ व $w$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि $|z|\, \le 1,$ $|w|\, \le 1$ तथा $|z + iw|\, = \,|z - i\overline w | = 2$, तब $z$ का मान है

A

$1$ or $i$

B

$i$ or $ - i$

C

$1$ or $-1$

D

$i$ or $-1$

(IIT-1995)

Solution

(c)माना $z = a + ib,|z| \le 1$ $⇒$  ${a^2} + {b^2} \le 1$

एवं $w = c + id,|w|\, \le 1$ $⇒$  ${c^2} + {d^2} \le 1$

 $|z + iw|\, = \,|a + ib + i(c + id)| = 2$

${(a – d)^2} + {(b + c)^2} = 4$ ……$(i)$

$|z – i\overline w |\, = \,|a + ib – i(c – id)|$

${(a – d)^2} + {(b – c)^2} = 4$……$(ii)$

$(i) $ व $ (ii) $ से $bc = 0$

या तो $b = 0$ या $c = 0$

यदि $b = 0$, तो ${a^2} \le 1$. तब $a$ के सम्भव मान केवल $1$ या $ – 1$होंगे।

Standard 11
Mathematics

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