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4-1.Complex numbers
hard
माना $z$ व $w$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि $|z|\, \le 1,$ $|w|\, \le 1$ तथा $|z + iw|\, = \,|z - i\overline w | = 2$, तब $z$ का मान है
A
$1$ or $i$
B
$i$ or $ - i$
C
$1$ or $-1$
D
$i$ or $-1$
(IIT-1995)
Solution
(c)माना $z = a + ib,|z| \le 1$ $⇒$ ${a^2} + {b^2} \le 1$
एवं $w = c + id,|w|\, \le 1$ $⇒$ ${c^2} + {d^2} \le 1$
$|z + iw|\, = \,|a + ib + i(c + id)| = 2$
${(a – d)^2} + {(b + c)^2} = 4$ ……$(i)$
$|z – i\overline w |\, = \,|a + ib – i(c – id)|$
${(a – d)^2} + {(b – c)^2} = 4$……$(ii)$
$(i) $ व $ (ii) $ से $bc = 0$
या तो $b = 0$ या $c = 0$
यदि $b = 0$, तो ${a^2} \le 1$. तब $a$ के सम्भव मान केवल $1$ या $ – 1$होंगे।
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