$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&b\\{ - a}&1&c\\{ - b}&{ - c}&1\end{array}\,} \right| = $

$\alpha$ के मानों की संख्या, जिसके लिये समीकरण निकाय:

$x+y+z=\alpha$

$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$

$x+3 \alpha y+5 z=4$ असंगत है, होंगी

यदि रैखिक समीकरण निकाय $ x-2 y+z=-4 $; $ 2 x+\alpha y+3 z=5 $; $ 3 x-y+\beta z=3$ के अनंत हल हैं, तो $12 \alpha+13 \beta$ बराबर है

यदि $A, B, C$ किसी त्रिभुज के कोण हों, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{\cos C}&{\cos B}\\{\cos C}&{ - 1}&{\cos A}\\{\cos B}&{\cos A}&{ - 1}\end{array}\,} \right| = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = $

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ - {a^2}}&{ab}&{ac}\\{ab}&{ - {b^2}}&{bc}\\{ac}&{bc}&{ - {c^2}}\end{array}\,} \right| = K{a^2}{b^2}{c^2},$ तो $K = $