$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$ તો $\sin\, 4\theta $ મેળવો.

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{265}&{240}&{219}\\{240}&{225}&{198}\\{219}&{198}&{181}\end{array}\,} \right|$ =

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી  સાબિત કરો કે, $\left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)$

જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$, તો $k = $

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$

જો  $ a, b $ અને $c $ એ શૂન્યતર સંખ્યા હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}{c^2}}&{bc}&{b + c}\\{{c^2}{a^2}}&{ca}&{c + a}\\{{a^2}{b^2}}&{ab}&{a + b}\end{array}\,} \right|= .. . .$