બે અલગ અલગ ધન સંખ્યાઓના સમાંતર ,સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યકો અનુક્રમે $A_1, G_1, H_1$ લો. $n \geq  2$, માટે $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના સમાંતર, સમગુણોત્તર અને સ્વરીત મધ્યક અનુક્રમે $A_n, G_n$, અને $H_n$  લો. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે ?

જો $n$ સમાંતર મધ્યક $a_1,a_2,......a_n$ એ $50$ અને $100$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે તથા $n$ સ્વરિત મધ્યકો $h_1$ , $h_2$ , ...... $h_n$ એ તે બે સંખ્યાઓ વચ્ચે મૂકવામાં આવે તો $a_2h_{n-1}$ ની કિમત મેળવો 

જો $f(x) = \sqrt {{x^2} + x}  + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\sqrt {{x^2} + x} }},\alpha  \in (0,\pi /2),x > 0$ તો $f(x)\,\,\geq$ . . .  

અહી અનંત સમગુણોતર શ્રેણી નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોતર  $r$,હોય તેના પદોનો સરવાળો  $5$ આપેલ છે. જો પ્રથમ પાંચ પદનો સરવાળો $\frac{98}{25}$ આપેલ હોય તો સમાંતર શ્રેણીના  $21$ પદોનો સરવાળો મેળવો કે જેનું પ્રથમ પદ $10\,ar , n ^{\text {th }}$ મુ પદ $a_{n}$ અને સામાન્ય તફાવત $10{a r^{2}} $ હોય.

જો બે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ ના સમગુણોત્તર અને સ્વરિત મધ્યક અનુક્રમે $18$ અને $16\frac {8}{13}$ હોય તો  $|x_1 -x_2|$ ની કિમત મેળવો 

$81$ અને $719$ વચ્ચેની દરેક પૂર્ણાક સંખ્યા કે જેનો $5$ વડે ભાગાકાર કરી શકાય તેનો સરવાળો કેટલો થાય ?