ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P (x, y)$ છે.

જેનું નાભિકેન્દ્ર $ S (-1, 1)$ અને નિયામિકા $x – y + 3 = 0 $છે.

$P (x, y)$ માંથી નિયામિકા $x – y + 3 = 0$ પરનો લંબ $PM$ તો વ્યાખ્યા અનુસાર

$SP = ePM$

$\Rightarrow \,\,{\left( {SP} \right)^2}\,\, = \,\,{e^2}{\left( {PM} \right)^2}\,\, $

$\Rightarrow \,\,{\left( {x\,\, + \;\,1} \right)^2}\,\, + \;\,{\left( {y\,\, – \,\,1} \right)^2}\,\, = \,\,\frac{1}{4}\,\,{\left\{ {\frac{{x\,\, – \,\,y\,\, + \;\,3}}{{\sqrt 2 }}} \right\}^2}$

$ 8 (x^{2} + y^{2}+ 2x – 2y + 2) = x^{2} + y^{2} + 9 – 2xy + 6x – 6y $

$7x^{2} + 7y^{2} + 2xy + 10x – 10y + 7 = 0$

જે માંગેલ ઉપવલયનું સમીકરણ છે.