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एक आवेश $+q$ को $r$ त्रिज्या वोल एक पतले वलय जिसका रेखीय आवेश घनत्व $\lambda=q \sin ^2 \theta /(\pi r)$ है, पर वितरित किया जाता है। वलय $x-y$ तल में है और $x$-अक्ष से $\vec{r}$ एक कोण $\theta$ बनाता है। बिन्दु आवेश $+Q$ को वलय के केन्द्र से अनंत तक विस्थापित करने में वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य निम्न के बरावर है।
equal to $q Q / 2 \pi \varepsilon_{0} r$
equal to $q Q / 4 \pi \varepsilon_{0} r$
शून्य तभी होगा जब पथ वलय के तल के लम्बवत् एक सीधी रेखा में होगा
equal to $q Q / 8 \pi \varepsilon_{0} r$
Solution
$(b)$ As charge distribution is over a circle, potential due to charge over ring is
$V=\frac{k}{r} \cdot q_{ total }$
$\text { where, }$
$q_{\text {total }} =\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{q \sin ^{2} \theta}{\pi r}(r d \theta)$
$=\frac{q}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1-\cos 2 \theta}{2} \cdot d \theta$
$=\frac{q}{\pi}\left[\left(\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2 \theta}{4}\right)\right]_{0}^{2 \pi}=q$
So, potential at centre of ring $=V$
$=\frac{k q _{\text {total }}}{r}$
$\Rightarrow \quad V =\frac{k q}{r}$
Also, work done in taking a charge $Q$ from centre of ring to infinity $=$ potential energy of system
$=V \cdot Q=\frac{k q Q}{r}=\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$
