एक 'mathrm{m}' द्रव्यमान का कण पृथ्वी सतह ?

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7.Gravitation

hard

एक $'\mathrm{m}'$ द्रव्यमान का कण पृथ्वी सतह से समान वेग $v=\mathrm{k} \mathrm{V}_{\mathrm{e}}(\mathrm{k}<1)$ से प्रक्षेपित किया जाता है।

$\left(\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\right.$ पलायन वेग)

कण के द्वारा सतह के ऊपर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है :

A

$\mathrm{R}\left(\frac{\mathrm{k}}{1-\mathrm{k}}\right)^{2}$

B

$\mathrm{R}\left(\frac{\mathrm{k}}{1+\mathrm{k}}\right)^{2}$

C

$\frac{\mathrm{R}^{2} \mathrm{k}}{1+\mathrm{k}}$

D

$\frac{\mathrm{Rk}^{2}}{1-\mathrm{k}^{2}}$

(NEET-2021)

Solution

$-\frac{G M m}{R}+\frac{1}{2} m k^{2} v_{e}^{2}=-\frac{G M m}{r}$

$-\frac{G M m}{R}+\frac{1}{2} m k^{2} \frac{2 G M}{R}=-\frac{G M m}{r}$

$-\frac{1}{R}+\frac{k^{2}}{R}=-\frac{1}{r}$

$\frac{1}{r}=\frac{1}{R}-\frac{k^{2}}{R}$

$\frac{1}{r}=\frac{1-k^{2}}{R}$

$r=\frac{R}{1-k^{2}}$

$R+h=\frac{R}{1-k^{2}}$

$h=\frac{R}{1-k^{2}}-R=\frac{k^{2}}{1-k^{2}} R$

Standard 11

Physics

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सही विकल्प का चयन कीजिए :

$(a)$ बढ़ती तुंगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(b)$ बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व को गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

$(d)$ पृथ्वी के केन्द्र से $r_{2}$ तथा $r_{1}$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m\left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)$ सूत्र $m g\left(r_{2}-r_{1}\right)$ से अधिक/कम यथार्थ है।

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(AIIMS-2016)