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$-15 \,m / s$ के वेग से चल रहे एक $2 / 3 \,kg$ द्रव्यमान वाले कण पर $t =-2 \,s$ समय पर $f = k -\beta t ^2$ बल आरोपित किया जाता है। यहाँ $k =8 \,N$ तथा $\beta=2 \,N / s ^2$ है। गति एकविमीय है। तव कण की वह चाल जिस पर उसका त्वरण पुनः शून्य हो जाएगा, ......... $m/s$ है
$1$
$16$
$17$
$32$
Solution
$(c)$ Force on the object is $F=k-\beta t^{2}$
Acceleration of the particle,
$a=\frac{F}{m}=\frac{k-\beta t^{2}}{m}$
Acceleration is zero when $k=\beta t^{2}$ or $t^{2}=\frac{k}{\beta}$ or $t^{2}=\frac{8}{2} \Rightarrow t=2 \,s$
Now, $a=\frac{d v}{d t}=\frac{k-\beta t^{2}}{m}-$
$\Rightarrow \quad d v=\frac{k-\beta t^{2}}{m} \cdot d t$
Integrating between given limits, we have
$\Rightarrow \int \limits_{v=-15}^{v\left(t=z^{3}\right)} d v=\int \limits_{t=-2 s }^{t=2 s } \frac{k-\beta t^{2}}{m} d t$
$=\frac{3}{2} \int \limits_{t=-2}^{t=2}\left(8-2 t^{2}\right) d t$
$v(t=2 s )-(-15)=\frac{3}{2}\left[8 t-\frac{2 t^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}$
$\Rightarrow v_{\text {at } t}=2 s =-15+\frac{3}{2} \times$
$\left[8(2-(-2))-\frac{2}{3}\left(8-(-2)^{3}\right)\right]$
$\Rightarrow v_{\text {at } t=2 s}=-15+\frac{3}{2}\left(32-\frac{32}{3}\right)$
$=-15+\frac{3}{2}\left(\frac{64}{3}\right)$
$=-15+32=17 \,ms ^{-1}$
