શૂન્યાવકાશમાં $z-$ દિશામાં ગતિ કરતું વિધુતચુંબકીય તરંગ $\vec E = {E_0}\,\,\sin (kz - \omega t)\hat i$ અને $\vec B = {B_0}\,\,\sin (kz - \omega t)\hat j$ છે, તો

$(i)$ આકૃતિમાં દશવિલ $1234$ ચોરસ લૂપ પર $\int {\vec E.\overrightarrow {dl} } $ નું મૂલ્યાંકન કરો.

$(ii)$ $1234$ ચોરસ લૂપ સિમિત સપાટી પર $\int {\vec B} .\overrightarrow {ds} $ નું મૂલ્યાંકન કરો.

$(iii)$ $\int {\vec E.\overrightarrow {dl}  =  - \frac{{d{\phi _E}}}{{dt}}} $ નો ઉપયોગ કરી $\frac{{{E_0}}}{{{B_0}}} = c$ સાબિત કરો.

$(iv)$ ના જેવીજ પ્રક્રિયા અને સમીકરણની મદદથી અને $\int {\vec B} .\overrightarrow {dl}  = {\mu _0}I + { \in _0}\frac{{d{\phi _E}}}{{dt}}$ પરથી  $c = \frac{1}{{\sqrt {{\mu _0}{ \in _0}} }}$ સાબિત કરો.

$(i)$ નીચે દર્શાવેલ આકૃતિ વિચારો.

$z$-દિશામાં પ્રસરતાં $EM$ તરંગો દરમિયાન ધારો કે, $x$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{ E }$ અને $y$-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીયક્ષેત્ર $\overrightarrow{ B }$ છે.

$\therefore \quad \overrightarrow{ E }= E _{0} \hat{i}$ અને $\overrightarrow{ B }= B _{0} \hat{j}$

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બંધ યોરસ માર્ગ $1234$ પરનું રેખા સંકલન,

$\int \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}$$=\int_{1}^{2} \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}+\int_{2}^{3} \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}+\int_{3}^{4} \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}+\int_{4}^{1} \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}$

$=\int_{1}^{2} E d l \cos 90^{\circ}+\int_{2}^{3} E d l \cos 0^{\circ}+\int_{3}^{4} E d l \cos 90^{\circ}+\int_{4}^{1} E d l \cos 180^{\circ}$

$\therefore \quad \int \overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{d l}= E _{0} h \quad\left[\sin \left(k z_{2}-\omega t\right)-\sin \left(k z_{1}-\omega t\right)\right]\dots(1)$

$(ii)$ ધારો કે,$1234$ યોરસ અસંખ્ય સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળ ખંડ $d s$ નો બનેલો છે, તો એક સૂક્ષ્મ ખંડનું ક્ષેત્રફળ $d s=h d z$

$\therefore \int \overrightarrow{ B } \cdot \overrightarrow{d s}$$=\int J B d s \cos 0^{\circ}$

$=\int B d s \quad\left[\because \cos 0^{\circ}=1\right]$

$=\int_{z_{1}}^{z_{2}} B _{0} \sin (k z-\omega t) h d z[\because d s=h d z]$

$=-\frac{ B _{0} h}{k}\left[\cos \left(k z_{2}-\omega t\right)-\cos \left(k z_{1}-w t\right)\right]\dots(2)$