- Home
- Standard 11
- Physics
સૂર્ય જેવા તારાની આસપાસ જુદા જુદા અંતરે અસંખ્ય પદાર્થો ગતિ કરે છે. તે બધા વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે છે તેમ ધારો. તારાના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $r$ અને તેનો રેખીય વેગ $v$, કોણીય વેગ $\omega $, ગતિઊર્જા $K$, સ્થિતિઊર્જા $U$, કુલ ઊર્જા $E$ અને કોણીય વેગમાન $L$ છે. જેમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે તેમ કઈ રાશિઓ વધશે અને કઈ રાશિઓ ઘટશે તે નક્કી કરો.
Solution

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર $M$ દળના તારાની આસપાસ $m$ દળનો પદર્થ ભ્રમણ કરે છે.
પદાર્થનો રેખીય વેગ $v=\sqrt{\frac{ GM }{r}}$
$\therefore$ ત્રિજ્યા $r$ વધતાં રેખીય વેગ $v$ ધટે.
પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega=\frac{2 \pi}{T}$
કૅપ્લરના નિયમ પરથી, $T ^{2} \propto r^{3}$
$\therefore \quad T =k r^{\frac{3}{2}}$
$\therefore \omega=\frac{2 \pi}{k r^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \therefore \omega \propto \frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$
તેથી ત્રિજ્યા $r$ વધતાં કોણીય વેગ $\omega$ ધટશે.
પદાર્થની ગતિઉર્જા $K =\frac{1}{2} m v^{2}$
$=\frac{1}{2} m \times \frac{ GM }{r}$
$=\frac{ GM m}{2 r}$
$\therefore K\propto \frac{1}{r}$
તેથી ત્રિજ્યા $r$ વધતાં ગતિઊર્જા $K$ ધટશે.
પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U =-\frac{ GM m}{r}$
$\therefore U \propto-\frac{1}{r}$
તેથી ત્રિજ્યા $r$ વધતાં,સ્થિતિઉર્જાનું મૂલ્ય ઘટે એટલે કે $U$ વધશે.
પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E = K + U$
$=\frac{ GM m}{2 r}-\frac{ GM m}{r}$
$=-\frac{ GM m}{2 r}$
$\therefore E \propto-\frac{1}{r}$