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एक ऊष्मारोधी (thermally insulating) बेलन के मध्य में एक घर्षणहीन चलायमान (frictionless movable) तथा ऊष्मारोधी द्विभाजक (partition) चित्रानुसार, लगा है। इसके दोनों भागों में एक-एक मोल (mole) आदर्श गैस हैं, जिसकी स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_v=2 R$ है। यहाँ, $R$ गैस नियतांक है। आरंभ में, दोनों भागों का आयतन $V_0$ तथा तापमान $T_0$ है। बाएँ भाग में एक विद्युत हीटर लगा है, जिसको बहुत कम शक्ति (very low power) पर चलाकर बांयी तरफ की गैस को $Q$ ऊष्मा दी जाती है। इससे द्विभाजक, धीमी गति से दांयी तरफ जाता है जिससे दांयी तरफ का आयतन घटकर $V_0 / 2$ हो जाता है। इसके फलस्वरूप बांयी एवं दार्यीं भागों में गैस का तापमान क्रमशः $T_L$ तथा $T_R$ हो जाता है। हीटर, बेलन तथा द्विभाजक के तापमानों में परिवर्तन उपेक्षणीय है।
($1$) $\frac{T_R}{T_0}$ का मान है -
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
($2$) $\frac{Q}{R T_0}$ का मान है -
$(A)$ $4(2 \sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2 \sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5 \sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5 \sqrt{2}-1)$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
$A,C$
$A,D$
$A,B$
$A,B,C$
Solution
$\text { Finally } V _{ L }=\frac{3 V _0}{2}, V _{ R }=\frac{ V _0}{2}$
$C _{ V }=\frac{ R }{\gamma-1}=2 R \Rightarrow \gamma-1=\frac{1}{2}$
$\gamma=\frac{3}{2}$
$T _0 V _0^{\gamma-1}= T _{ R }\left(\frac{ V _0}{2}\right)^{\gamma-1}$
$\frac{ T _{ R }}{ T _0}=\sqrt{2}$
$\rho\left(\frac{ V _0}{2}\right)^\gamma= P _0 V _0^\gamma \Rightarrow P = P _0 \times 2^{\frac{3}{2}}$
$\frac{ PV }{ T _{ L }}=\frac{ P _0 V _0}{ T _0} \Rightarrow T _{ L }=2^{\frac{3}{2}} \times \frac{3}{2} T _0=3 \sqrt{2} T _0$
$Q = nC C _{ V } \Delta T _1+ nC V _{ V } \Delta T _2$
$=1 \times 2 R \times(3 \sqrt{2}-1) T _0+1 \times 2 R \times(\sqrt{2}-1) T _0$
$\frac{ Q }{ R }=2(3 \sqrt{2}-1)+2(\sqrt{2}-1)=8 \sqrt{2}-4$
