दीर्घवृत्त ${x^2} + 3{y^2} = 6$ के केन्द्र से $2$ इकाई दूरी पर दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिन्दु का उत्केन्द्र कोण है

दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :

$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;

$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;

$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है

$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है

$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है

$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ की उस जीवा, जिसका मध्य बिंदु $\left(1, \frac{2}{5}\right)$ है, की लम्बाई है :

एक दीर्घवृत्त, जिसकी नाभियाँ $(0,2)$ तथा $(0,-2)$ पर हैं तथा जिसके लघु अक्ष की लम्बई $4$ है, निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाता है ?

यदि किसी दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{5}{8}$ तथा नाभियों के बीच की दूरी $10$  हो, तो उसका नाभिलम्ब होगा

$15$ सेमी लंबी एक छड़ $AB$ दोनों निर्देशांक्षों के बीच में इस प्रकार रखी गई है कि उसका एक सिरा $A , x-$अक्ष पर और दूसरा सिरा $B , y-$ अक्ष पर रहता है छड़ पर एक बिंदु $P (x, y)$ इस प्रकार लिया गया है कि $AP =6$ सेमी हैं दिखाइए कि $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।