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निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए :
$x+y+z=1$ ; $2 x+3 y+2 z=2$ ; $a x+a y+2 a z=4$
Solution
The given system of equations is:
$x+y+z=1$
$2 x+3 y+2 z=2$
$a x+a y+2 a z=4$
The system of equation can be written in the form of $A X=B$, where
$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2 a\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right]$
Now,
$|A|=1(6 a-2 a)-1(4 a-2 a)+1(2 a-3 a)$
$=4 a-2 a-a=4 a-3 a=a \neq 0$
$\therefore A$ is a non-singular matrix. Therefore, $A^{-1}$ exists.
Hence, the given system of equation is consistent.
Similar Questions
माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल (roots) हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार कीजिये । एक $3 \times 3$ आव्यूह (matrix) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ के लिए, $R_i=a_{i 1}+a_{i 2}+a_{i 3}$ और $C_j=a_{1 j}+a_{2 j}+a_{3 j}$ परिभाषित कीजिये, जहां $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है।
सूची-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का सूची-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $(P)$ आव्यूहों (matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ (entries) $T$ से हैं, और जिनमें सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ है, की संख्या है | ($1$) ($1$) |
| $(Q)$ सममित आव्यूहों (symmetric matrices) $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$, जिनकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिनमें सभी $j$ के लिए $C,=0$ है, की संख्या है | ($2$) ($2$) |
| $(R)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा विषम सममित आव्यूह (skew symmetric matrix) है कि, $i > j$ के लिए $a_{i j} \in T$ है। तब समुच्चय$\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y \cdot z \in R, M\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{12} \\ 0 \\ -a_{23}\end{array}\right)\right\}$ में अवयवों (elements) की संख्या है | ($3$) अनंत (infinite) |
| $(S)$ माना कि $M=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ एक ऐसा आव्यूह है कि जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ से हैं, और जिसमें सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है। तब $M$ के सारणिक (determinant) का निरपेक्ष (absolute) मान है | ($4$) ($6$) |
| ($5$) ($0$) |
सही विकल्प है:
