माना $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3\right]$ हैं, जहाँ $\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3$ स्तंभ आव्यूह हैं तथा $\mathrm{AB}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$ $\mathrm{AB}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right], \mathrm{AB}_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$ है। यदि $\alpha=|\mathrm{B}|$ तथा $B$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $\beta$ है, तो $\alpha^3+\beta^3$ बराबर है …………….|

माना $A$ तथा $B$ दो $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह है जबकि $A$ सममित आव्यूह है तथा $B$ विषम सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय, $\left( A ^{2} B ^{2}- B ^{2} A ^{2}\right) X = O$, जबकि $X$, एक $3 \times 1$ अज्ञात चरों का स्तम्भ आव्यूह है तथा $O$, एक $3 \times 1$ शून्य आव्यूह है

यदि किसी आव्यूह में $8$ अवयव हैं, तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हो सकती हैं?

मान लीजिए कि $X , Y , Z , W$ तथा $P$ क्रमश: $2 \times n, 3 \times k, 2 \times p, n \times 3$ तथा $p \times k,$ कोटियों के आव्यूह हैं। $PY + WY$ के परिभाषित होने के लिए $n, k$ तथा $p$ पर क्या प्रतिबंध होगा?

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए

:$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\ 
  {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}} 
\end{array}} \right]$ $ + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2ab}&{2bc} \\ 
  { – 2ac}&{ – 2ab} 
\end{array}} \right]$