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धनात्मक पूर्णांकों ${n_1},{n_2}$ के लिये व्यंजक ${(1 + i)^{{n_1}}} + {(1 + {i^3})^{{n_1}}} + {(1 + {i^5})^{{n_2}}} + {(1 + {i^7})^{{n_2}}}$जहाँ $i = \sqrt { - 1} $ है, का मान एक वास्तविक संख्या है, यदि और केवल यदि
${n_1} = {n_2} + 1$
${n_1} = {n_2} - 1$
${n_1} = {n_2}$
${n_1} > 0,{n_2} > 0$
Solution
(d) ${i^3} = – i,{i^5} = i$ एवं ${i^7} = – i$, प्रयोग करने पर हम दिये गये व्यंजक को निम्न प्रकार लिख सकते हैं ${(1 + i)^{{n_1}}} + {(1 – i)^{{n_1}}} + {(1 + i)^{{n_2}}} + {(1 – i)^{{n_2}}}$ $ = 2{[^{{n_1}}}{C_0}{ + ^{{n_1}}}{C_2}{i^2}{ + ^{{n_1}}}{C_4}{i^4} + …..]$
$ + 2{[^{{n_2}}}{C_0}{ + ^{{n_2}}}{C_2}{i^2}{ + ^{{n_2}}}{C_4}{i^4} + …..]$
$ = 2{[^{{n_1}}}{C_0}{ – ^{{n_1}}}{C_2}{ + ^{{n_1}}}{C_4} + ….]$
$ + 2{[^{{n_2}}}{C_0}{ – ^{{n_2}}}{C_2}{ + ^{{n_2}}}{C_4} + ….]$
${n_1}$व ${n_2}$के सभी मानों के लिये यह वास्तविक संख्या है।
