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माना $\frac{{1 - ix}}{{1 + ix}} = a - ib$ एवं ${a^2} + {b^2} = 1$, जहाँ $a$ व $b$ वास्तविक हैं तब $x = $
$\frac{{2a}}{{{{(1 + a)}^2} + {b^2}}}$
$\frac{{2b}}{{{{(1 + a)}^2} + {b^2}}}$
$\frac{{2a}}{{{{(1 + b)}^2} + {a^2}}}$
$\frac{{2b}}{{{{(1 + b)}^2} + {a^2}}}$
Solution
(b) $\frac{{1 – ix}}{{1 + ix}} = a – ib$==> $\frac{{(1 – ix)(1 – ix)}}{{(1 + ix)(1 – ix)}} = a – ib$
==> $\frac{{1 – {x^2} – 2ix}}{{1 + {x^2}}} = a – ib$
==> $\frac{{1 – {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = a$ एवं $\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = b$
हम $x$ को निम्न प्रकार लिख सकते हैं $x = \frac{{\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}}}{{\frac{2}{{1 + {x^2}}}}} = \frac{{\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}}}{{\frac{{1 – {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 1}}$
$ = \frac{b}{{1 + a}} = \frac{{2b}}{{1 + 1 + 2a}} = \frac{{2b}}{{1 + ({a^2} + {b^2}) + 2a}} = \frac{{2b}}{{{{(1 + a)}^2} + {b^2}}}$
ट्रिक : $\frac{{1 – ix}}{{1 + ix}} = \frac{{1 – {x^2} – 2ix}}{{1 + {x^2}}} = a – ib$
माना $a = 0$==> $x = \pm 1$एवं $b = \pm 1$.
विकल्प $(b)$, $ \pm 1$ देता है।
