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4-1.Complex numbers
hard
$\{ z = x + iy \in C 😐 z |-\operatorname{Re}( z ) \leq 1\}$ द्वारा निरुपित क्षेत्र निम्न में से किस असमता द्वारा भी दिया जाता है
A
$y^{2} \geq x+1$
B
$y^{2} \geq 2(x+1)$
C
$y^{2} \leq x+\frac{1}{2}$
D
$y^{2} \leq 2\left(x+\frac{1}{2}\right)$
(JEE MAIN-2020)
Solution
$z = x +1 y$
$Iz 1- ke ( z ) \leq 1$
$\Rightarrow \sqrt{ x ^{2}+ y ^{2}}- x \leq 1$
$\Rightarrow \sqrt{ x ^{2}+ y ^{2}} \leq 1+ x$
$\Rightarrow x ^{2}+ y ^{2} \leq 1+2 x + x ^{2}$
$\Rightarrow y ^{2} \leq 2 x +1$
$\Rightarrow y ^{2} \leq 2\left( x +\frac{1}{2}\right)$
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