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यदि $$ A =\left[\begin{array}{ccc} e ^{ t } & e ^{- t } \cos t & e ^{- t } \sin t \\ e ^{ t } & - e ^{- t } \cos t - e ^{- t } \sin t & - e ^{- t } \sin t + e ^{- t } \cos t \\ e ^{ t } & 2 e ^{- t } \sin t & -2 e ^{- t } \cos t \end{array}\right] $$ है, तो $A$
व्युत्क्रमणीय है, केवल तब, जब $t =\frac{\pi}{2}$ है।
किसी भी $t \varepsilon R$ के लिए व्युत्क्रमणीय नहीं है।
सभी $t \varepsilon R$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।
व्युत्क्रमणीय (invertible) है, केवल तब, जब $t=\pi$ है।
Solution
$\left| A \right| = {e^{ – t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\cos \,t}&{\sin \,t}\\
1&{ – \cos \,t – \sin \,t}&{\, – \sin \,t + \cos \,t}\\
1&{2\sin \,t}&{ – 2\cos \,t}
\end{array}} \right|$
$ = {e^{ – t}}\left[ {5{{\cos }^2}t + 5{{\sin }^2}t} \right]\forall t \in R$
$ = 5{e^{ – t}} \ne 0\forall t \in R$
