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જો $A\, = \,\left[ \begin{gathered}
1\ \ \ \,1\ \ \ \,2\ \ \ \hfill \\
0\ \ \ \,2\ \ \ \,1\ \ \ \hfill \\
1\ \ \ \,0\ \ \ \,2\ \ \ \hfill \\
\end{gathered} \right]$ અને $A^3 = (aA-I) (bA-I)$,કે જ્યાં $a, b$ એ પૃણાંક છે અને એકમ શ્રેણિક $I$ ની કક્ષા $3 × 3$ હોય તો $(a + b)$ મેળવો.
$4$
$5$
$6$
$7$
Solution
$|A-\lambda I|=0$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – \lambda }&1&2\\
0&{2 – \lambda }&1\\
1&0&{2 – \lambda }
\end{array}} \right| = 0$
$(1-\lambda)\left[(2-\lambda)^{2}-0\right]-(0-1)+2(0-(2-\lambda))=0$
$(1-\lambda)(2-\lambda)^{2}+1-4+2 \lambda=0$
$(1-\lambda)\left(\lambda^{2}-4 \lambda+4\right)-3+2 \lambda=0$
$\lambda^{2}-4 \lambda+4-\lambda^{3}+4 \lambda^{2}-4 \lambda-3+2 \lambda=0$
$\lambda^{3}=5 \lambda^{2}-6 \lambda+1=(5 \lambda-1)(\lambda-1)$
$ A^{3}=(5 A-I)(A-I) $
$ a=5, b=1 $ or $ a=1, b=5 $
$ \Rightarrow a+b=6 $
