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3 and 4 .Determinants and Matrices
medium
यदि $a,b,c$ असमान हों, तो इस बात का प्रतिबंध कि सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{{a^3} + 1}\\b&{{b^2}}&{{b^3} + 1}\\c&{{c^2}}&{{c^3} + 1}\end{array}\,} \right|$ का मान शून्य होगा
A
$1 + abc = 0$
B
$a + b + c + 1 = 0$
C
$(a - b)(b - c)(c - a) = 0$
D
इनमें से कोई नहीं
(IIT-1985)
Solution
दिए सारणिक को दो सारणिकों में विभाजित करने पर,
$\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}\,} \right| + abc\,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}\,} \right|\, = 0$
= $(1 + abc)\,[(a – b)\,(b – c)\,(c – a)] = 0$
क्योंकि $a, b, c$ भिन्न भिन्न हैं,
अत: दूसरा गुणनफल शून्य नही हो सकता हैं। अत: विकल्प $(a)$, $1 + abc = 0$ सही है।
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