यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।
यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{r}}
2&{ - 3}&5 \\
6&0&4 \\
1&5&{ - 7}
\end{array}} \right| = - 28{\text{ }}$
Interchanging rows $\mathrm{R}_{2}$ and $\mathrm{R}_{3}$ i.e., $\mathrm{R}_{2} \leftrightarrow \mathrm{R}_{3},$ we have
${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{r}}
2&{ - 3}&5 \\
1&5&{ - 7} \\
6&0&4
\end{array}} \right|$
Expanding the determinant $\Delta_{1}$ along first row, we have
${\Delta _1} = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 7} \\
0&4
\end{array}} \right| - ( - 3)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 7} \\
6&4
\end{array}} \right| + 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5 \\
6&0
\end{array}} \right|$
$ = 2(20 - 0) + 3(4 + 42) + 5(0 - 30)$
$ = 40 + 138 - 150 = 28$
Clearly $\quad \Delta_{1}=-\Delta$
Hence, Property $2$ is verified.
Similar Questions
प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$
प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$
माना $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & -2+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 2+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\cos 2 x\end{array}\right|, x \in[0, \pi]$है, तो $f ( x )$ का अधिकतम मान बराबर है .............|
माना $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & -2+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 2+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\cos 2 x\end{array}\right|, x \in[0, \pi]$है, तो $f ( x )$ का अधिकतम मान बराबर है .............|
- [JEE MAIN 2021]
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha + b}\\b&c&{b\alpha + c}\\{a\alpha + b}&{b\alpha + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$, if $a,b,c$
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha + b}\\b&c&{b\alpha + c}\\{a\alpha + b}&{b\alpha + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$, if $a,b,c$
- [IIT 1986]
सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$
सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$