यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ तथा $M = A + A ^{2}+ A ^{3}+\ldots+ A ^{20}$, हैं, तो आव्यूह $M$ के सभी अवयवों का योगफल बराबर है ……. |

दो किसान रामकिशन और गुरचरन सिंह केवल तीन प्रकार के चावल जैसे बासमती, परमल तथा नउरा की खेती करते हैं। दोनों किसानों द्वारा, सितंबर तथा अक्तूबर माह में, इस प्रकार के चावल की बिक्री (रूपयों में) को, निम्नलिखित $A$ तथा $B$ आव्यूहों में व्यक्त किया गया हैं:

सितंबर माह की बिक्री ($Rs.$ में )

$A=$  $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{ Basmati }}}&{{\text{ Permal }}}&{{\text{ Naura }}} \\ 
  {10,000}&{20,000}&{30,000} \\ 
  {50,000}&{30,000}&{10,000} 
\end{array}} \right]\,$ $\begin{matrix}
   {}  \\
    \mathrm {Ramkrishan} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
    \mathrm {Gurcharan}\,\, \mathrm {Singh}  \\
\end{matrix}$

अक्तूबर माह की बिक्री ($Rs.$ में)

$B=\left[\begin{array}{ccc}\text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000\end{array}\right]$ $\begin{matrix}
   {}  \\
    \mathrm {Ramkrishan} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
   \mathrm {Gurcharan}\,\,\mathrm {Singh}  \\
\end{matrix}$

$(i)$ प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर तथा अक्तूबर की सम्मिलित बिक्री ज्ञात कीजिए।

$(ii)$ सितंबर की अपेक्षा अक्तूबर में हुई बिक्री में कमी ज्ञात कीजिए।

$(iii)$ यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर $2 \%$ लाभ मिलता है, तो अक्तूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर प्रत्येक किसान को मिलने वाला लाभ ज्ञात कीजिए

मान लीजिए कि $A =\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -2 & 5\end{array}\right], C =\left[\begin{array}{cc}-2 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right],$ तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

$BA$

माना $A =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right),(\alpha \in R )$ इस प्रकार है कि $A ^{32}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ तो $\alpha$ का एक मान है

यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\3&0\end{array}} \right],$ $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&4\\2&3\end{array}} \right]$, $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right]$, तो $5A – 3B – 2C$=