यदि A = left[ {begin{array}{*{20}{c}}a&0&00&b&00&0&cend{array}} right]

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Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

easy

यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right]$, तो ${A^n} = $

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{na}&0&0\\0&{nb}&0\\0&0&{nc}\end{array}} \right]$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right]$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^n}}&0&0\\0&{{b^n}}&0\\0&0&{{c^n}}\end{array}} \right]$

इनमें से कोई नहीं

Solution

चूँकि ${A^2} = A.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right]\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&0&0\\0&{{b^2}}&0\\0&0&{{c^2}}\end{array}} \right]$और ${A^3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3}}&0&0\\0&{{b^3}}&0\\0&0&{{c^3}}\end{array}} \right]$,….

${A^n} = {A^{n – 1}}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^{n – 1}}}&0&0\\0&{{b^{n – 1}}}&0\\0&0&{{c^{n – 1}}}\end{array}} \right]{\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^n}}&0&0\\0&{{b^n}}&0\\0&0&{{c^n}}\end{array}} \right]$.

नोट : विद्यार्थी इस प्रश्न को एक सूत्र की तरह याद रखें।

Standard 12

Mathematics

यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&1\end{array}} \right],$तो ${A^n} = $

easy

माना $A=\left(\begin{array}{cc}1+ i & 1 \\ – i & 0\end{array}\right)$ है जहाँ $i =\sqrt{-1}$ है।तब समुच्चय $\left\{ n \in\{1,2, \ldots, 100\}: A ^{ n }= A \right\}$ में अवयवों की संख्या है।

hard

(JEE MAIN-2022)

यदि $$ A =\left[\begin{array}{ccc} e ^{ t } & e ^{- t } \cos t & e ^{- t } \sin t \\ e ^{ t } & – e ^{- t } \cos t – e ^{- t } \sin t & – e ^{- t } \sin t + e ^{- t } \cos t \\ e ^{ t } & 2 e ^{- t } \sin t & -2 e ^{- t } \cos t \end{array}\right] $$ है, तो $A$

hard

(JEE MAIN-2019)

यदि $A =\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$ है तो दर्शाइए कि $A ^{3}-23 A -40 I = O$

medium

मान लीजिए कि $X , Y , Z , W$ तथा $P$ क्रमश: $2 \times n, 3 \times k, 2 \times p, n \times 3$ तथा $p \times k,$ कोटियों के आव्यूह हैं। यदि $n=p,$ तो आव्यूह $7 X -5 Z$ की कोटि है।