સમીકરણ $\, 2tan\theta \, -\, cot\theta  =\, -1$ નો વ્યાપક ઉકેલ મેળવો 

જો $A + B + C = \pi$ & $sin\, \left( {A\,\, + \,\,\frac{C}{2}} \right) = k \,sin,\frac{C}{2}$ થાય તો $tan\, \frac{A}{2} \,tan \, \frac{B}{2}=$

$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે, જો સમીકરણ $\left(\log _{\cos x} \cot x\right)+4\left(\log _{\sin x} \tan x\right)=1$ નો ઉકેલ $\sin ^{-1}\left(\frac{\alpha+\sqrt{\beta}}{2}\right)$ હોય,જ્યાં $\alpha,\beta$ પુર્ણાકો છે,તો $\alpha+\beta=………$.

જો સમીકરણ $tan^4x -2sec^2x + [a]^2 = 0$ ને ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલ હોય તો $'a'$ નો વિસ્તારગણ મેળવો  (જ્યાં $a \in R$ )  
(નોંધ : $[.]$  એ પૂર્ણાક મહતમ વિધેય છે)

જો $\alpha,-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2} $ એ $ 4  \cos \theta+5 \sin \theta=1$ ના ઉકેલ હોય, તો $\tan \alpha$ નું મૂલ્ચ ………….. છે.