જો left( {1 + ax + b{x^2}} right){left( {1 - | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

In the expansion of $\left(1+a x+b x^{2}\right)(1-2 x)^{18},$

Coefficient of $x^{3}$ in $\left(1+a x+b x^{2}\right)(1-2 x)^{18}$

$=$ Coefficient

Vedclass · Accepted Answer

($16$,$\frac{{272}}{3}$)

Vedclass · Answer

In the expansion of $\left(1+a x+b x^{2}ight)(1-2 x)^{18},$

Coefficient of $x^{3}$ in $\left(1+a x+b x^{2}ight)(1-2 x)^{18}$

$=$ Coefficient of $x^{3}$ in $(1-2 x)^{18}$

${+	ext { Coefficient of } x^{2} 	ext { in a }(1-2 x)^{	ext {18 }}}$

${	ext { + Coefficient of } x 	ext { in } b(1-2 x)^{	ext {18 }}}$

$=-^{18} \mathrm{C}_{3} \cdot 2^{3}+\mathrm{a}^{18} \mathrm{C}_{2} \cdot 2^{2}-\mathrm{b}^{18} \mathrm{C}_{1} \cdot 2$

$\because-^{18} C_{3} \cdot 2^{3}+a^{18} C_{2} \cdot 2^{2}-b^{18} C_{1} \cdot 2=0$

$\Rightarrow \frac{18 	imes 17 	imes 16}{3 	imes 2} \cdot 8+a \cdot \frac{18 	imes 17}{2} 2^{2}-b \cdot 18 \cdot 2=0$

$\Rightarrow 17 a-b=\frac{34 	imes 16}{3}..........(i)$

Similarly, coefficient of $x^{4}$

$^{18} \mathrm{C}_{4} \cdot 2^{4}-\mathrm{a} \cdot^{18} \mathrm{C}_{3} 2^{3}+b \cdot^{18} \mathrm{C}_{2} \cdot 2^{2}=0$

$32 a-32 b=240..........(ii)$

On solving Eqs. $(i)$ and $(ii)$, we get

$a=16 	ext { and } b=\frac{272}{3}$

જો $\left( {1 + ax + b{x^2}} \right){\left( {1 - 2x} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^3}$ અને ${x^4}$ બંનેના સહગુણકો શૂન્ય હોય, તો $ (a,b) =$ ___________.

Similar Questions

જો $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $a^{r-1}, a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો સમાંત૨ શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે $n^{2}-n(4 r+1)+4 r^{2}-2=0$

$(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણનાં ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $1: 7 : 42$ છે. $n$ શોધો.

${\left( {\frac{{x + 1}}{{{x^{2/3}} - {x^{\frac{1}{3}}} + 1\;}}--\frac{{x - 1}}{{x - {x^{1/2}}}}} \right)^{10}}$ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ મેળવો.

$\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right).{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં એવું પદ મેળવો કે જે $x$ પર આધારિત નથી.

જો $1 + {x^4} + {x^5} = \sum\limits_{i = 0}^5 {{a_i}\,(1 + {x})^i,} $ બધા $x\,\in$ $R$ માં આવેલ છે તો $a_2$ ની કિમત મેળવો.